Exercício Resolvido de: (Transmissão de Calor)

(escoamento externo, submerso, por convecção forçada)

Uma esfera de aço inoxidável (ρ =8055 kg/m³, cp = 480J/ kg. °C e diâmetro de 25 cm) é removida de um forno, saindo a uma temperatura uniforme de 300°C. A esfera é então submetida a uma corrente de ar, a uma pressão de 1 atm e a 25°C, com a velocidade de 3m/s. A temperatura superficial da esfera cai eventualmente para 200°C. Determine o tempo deste resfriamento e a quantidade de calor trocada até este instante.

Dado:

k material da esfera= 32 W/ m².K

Através da Temperatura de filme foi encontrado todos os dados referente ao ar:

onde Tf = (((200+300)/2)+25) / 2

= 137,5°C ou 410K

foi arredondado para 400K

e deste valor se pego os seguintes dados para o ar:

ρ ar = 0,8826 kg/m³ (não será utilizado, valor para confundir)

cp ar = 1014 J/kg.°C (não será utilizado, valor para confundir)

k=0,03365 W/mK

ν= 25,9x10^-6m²/s (viscosidade cinemática)

Pr=0,689

Solução:

primeiro calculamos o Re, para verificar se é turbulento ou laminar:

Re = ρ x V x Lc / µ

ou

Re = V x Lc / ν

Não temos a viscosidade absoluta, portanto utilizaremos a 2° opção de fórmula do Re

onde Lc para este caso será o próprio Diâmetro da esfera

Re= (3x25x10^-2) / 25,9x10^-6

Re= 28957,53 < 2,5x10^5

portanto: é um escoamento laminar

e se é um escoamento externo laminar podemos resolver pela equação de McAdams

mesmo esta equação sendo mais comumente utilizado em tubos e cilindros a geometria da esfera possibilita a aplicação da mesma.

veja no desenho:

é como se o fluido estivesse passando por um tubo perpendicularmente

então:

Nu= C x (Re^ m) x (Pr ^ (1/3))

Portanto conforme tabela das constantes de Mc Adams;

C= 0,193

M= 0,618

Nu= 0,193 x (28957,53^0,618) x (0,689^(1/3))

Nu= 97,5

então temos:

Nu= h x Lc / k do fluido

isolando o coeficiente de troca de calor:

 h = Nu x k / Lc

h = 97,5 x 0,03365 / 25x10^-2

h = 13,12 W/m²K

ótimo, já temos o h

Sei que o tempo vai vir da equação que contém o Fourier:

que vai sair deste outra equação:

Tf - T∞ / Ti - T∞ =  e ^ (-Bi x Fo)

Não tenho o valor de Biot por isto teremos que calcular:

é semelhante a fórmula no Nusselt porem é olhando para o material e não para o fluido

logo:

Bi = h x LC / k material

portanto o LC é outro é o volume / área :

no caso especifico de uma esfera podemos

dividir o raio por 3 que o resultado será o mesmo!

Bi = (13,12 x (((25x10^-2)/2)/3) )/  32

Bi= 0,017 

portanto menor que 1

logo podemos resolver sim pelo mé/todo da capacitância global, OK

bom... através da formula de Fourier isolamos o tempo e poderemos resolver o exercício

Fo= α x t / LC²

só que não temos o valor de α 

bem... 

α  = k / cp x ρ

α  = 32 / ( 480 x 8055)

α = 8,28x10^-6 m³/s

agora daqui só o bendito valor do Fourier

Tf - T∞ / Ti - T∞ =  e ^ (-Bi x Fo)

200 - 25 / (300 - 25) = e ^ (-0,017x Fo)

0,6364...= e ^ (-0,017x Fo)

ln (0,6364..) = -0,017xFo

-0,452... =-0,017 x Fo

Fo = ( -0,452../-0,017)

Fo = 26,59

Agora:

Fo= α x t / LC² 

Fo x Lc ²/α  = t

26,59 x (((25x10^-2)/2)/3)² / 8,28x 10^-6 = t

t = 5574,7 segundos

ou seja vai demorar cerca de 1 hora e 55 minutos para a esfera de 25 cm sair de 300°c e chegar até a temperatura de 200°C

um tempo um tanto quando elevado, mas temos que considerar que estamos falando de uma esfera e o sua temperatura central tende a perder calor lentamente mesmo, e estamos levando em conta apenas a transmissão de calor por convecção, ao mesmo tempo ocorreria perda de calor por condução por exemplo, o que faria o tempo diminuir mais em um caso prático.